「べらぼう」は、漢字で「箆棒」と書かれていますが、これは当て字で、その語源は寛文年間（1661～1673年）の末頃に見世物小屋で評判になった奇人に由来しています。
この奇人は、全身が真っ黒で頭がとがり、目は赤くて丸く、あごは猿に似て非常に容貌が醜く、愚鈍なしぐさで客を笑わせていました。彼は「便乱坊（べらんぼう）」「可坊（べくぼう）」と呼ばれており、「馬鹿」や「阿呆」の意味で「べらぼう」という言葉が生まれました。その後、人を罵る言葉としての意味が派生し、程度が酷いことや筋の通らないことを指すようになりました。
江戸中期の随筆『牛馬問』には、「阿房らしき事をべらぼうと隠語す」との記述があり、博打用語との関連性も指摘されています。しかし、博打用語の「べらぼう」の経緯は不明であり、奇人の話よりも後の書物であるため、語源としての確証は得られていません。
また、「べらぼうめ」という語は、「べらぼう」に強調の「め」が接尾語として付いたもので、「べらんめえ（べらんめい）」は「べらぼうめ」が音変化したもので、江戸時代には上方にも広まりましたが、現在では東京下町の方言とされています。
参考：べらぼうの語源・由来