梅雨は中国から「梅雨（ばいう）」として伝わり、江戸時代頃より「つゆ」と呼ばれるようになりました。『日本歳時記』には「此の月淫雨ふるこれを梅雨（つゆ）と名づく」とあります。
梅雨の漢字の由来には、二つの説があります。一つは、中国で元々「黴雨（ばいう）」と呼ばれていたことから、この雨がカビの生えやすい時期と関連しているという説。しかし、「カビ」では印象がわるいため、同じ「ばい」と読んで季節にも合う「梅」の字が使われ、「梅雨」になったと考えられます。
もう一つは、「梅の熟す時期の雨」を指して元々「梅雨」であったという説であり、これが日本に伝わる中で変容した可能性があります。
日本で梅雨が「つゆ」と呼ばれるようになった由来は、「露（つゆ）」から来ていると考えられていますが、梅の実が熟し潰れる時期を指して「潰ゆ（つゆ）」と関連付ける説も存在します。梅雨の語源は未詳部分が多く、興味深い研究の対象となっています。
参考：梅雨の語源・由来