「うつらうつら」は、近世から使われている言葉で、「うつ」に状態を表す接尾語「ら」がついた「うつら」を重ねたものです。
「うつら」の元となる「うつ」の語源には、二通りの説があります。ひとつは、「うつろな目」など「空虚」を意味する「うつ」。もうひとつが、「夢うつつ」や「うつつを抜かす」など「現実」の意味の「うつつ」です。
一般的には前者の説が有力とされていますが、後者の「うつつ」は中世から近世にかけて「夢見ごこち」の意味を持つようになったため、後者のほうが有力との見方もあります。
参考：うつらうつらの語源・由来